Cho các số nguyên duong a, b, c, d thỏa mãn: \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\). Chứng minh: trong 4 số đã cho luôn có ít nhất 2 số bằng nhau
cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}=1\)
chứng minh rằng truong 4 số đã cho luôn tồn tại ít nhất hai số bằng nha
Giả sử a,b,c,d khác nhau ta có
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}\)
\(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)
\(< 1-\frac{1}{5}< 1\)(trái với giả thiết)
=> điều giả sử là sai => ĐPCM
Giả sử a,b,c,d khác nhau, thì ta sẽ có:
\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}< \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\frac{1}{4.5}\)
\(< \frac{1}{1}-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\)
\(< 1-\frac{1}{5}< 1\) (trái với giả thiết)
= > điều giả sử sai = > ĐPCM
Mình làm thế này không biết có đúng không nha.
Vì vai trò của a,b,c,d bình đẳng nên giả sử a<b<c<d
=> a2<b2<c2<d2
=> a2+a2+a2+a2<a2+b2+c2+d2=1
=> a2.4<1
=> a2<0,25
=> -0,5<a<0,5. Mà a nguyên dương
=> Loại
=> ĐPCM.
cho 5 số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn \(\frac{1}{a^2}\)+\(\frac{1}{b^2}\)+ \(\frac{1}{c^2}\)+ \(\frac{1}{d^2}\)+\(\frac{1}{e^2}\)= 2 Chứng minh có ít nhất hai số trong 5 số đã cho bằng nhau
a2 = 82
b2 = 172
c2 = 52
d2 = 32
e2 = 82
*Ý kiến riêng mong đc k
*Nếu bạn nghĩ mik làm sai thì bạn có thể tính lại
100% đúng nha bạn
Mik đã đi hỏi cô và cô bảo đúng :)
cho mình hỏi tại sao lại như thế và dựa vào căn cứ gì mà bạn viết như vậy
Cho 5 số nguyên dương a,b,c,d,e thỏa mãn:\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{1}{d^2}+\frac{1}{e^2}=2\)
Chứng minh rằng có ít nhất hai trong 5 số đã cho bằng nhau.
Giúp mik với,mình đang cần gấp
Mik sẽ t.i.c.k nhanh cho bạn nào trả lời trước:))
Cho các số nguyên dương a1,a2,...,a100 thỏa mãn\(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+...+\frac{1}{a100}\)>hoặc bằng \(\frac{101}{2}\)
a) Chứng minh rằng trong 100 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau
b) Chứng minh rằng trong 100 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau
Giúp mình nhé. Ai nhanh mình tick cho!
a) Giả sử không có 2 số nào bằng nhau trong các số nguyên dương đẫ cho.
Không mất tính tổng quát ta giả sử: \(a1< a2< a3< a4< ...< a100\)
Nên : \(a1\ge1;a2\ge2;a3\ge3;...;a100\ge100\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}\)
Mặt khác, ta có : \(\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=1+99.\frac{1}{2}=\frac{101}{2}\)
( \(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{100}< \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}\)có 99 phân số 1/2 )
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{101}{2}\)trái với đề bài ra là \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\ge\frac{101}{2}\)
Vậy tồn tại trong 100 số đã cho ít nhất 2 số bằng nhau ( điều phải chứng minh ).
b) Giả sử trong 100 số trên chỉ tồn tại 2 số bằng nhau ( đã chứng minh 2 số bằng nhau ở phần a)
Không mất tính tổng quát, ta giả sử:
b) Làm tiếp : Giả sử a1=a2.
Nên : \(a1=a2>a3>a4>...>a100\)( áp dụng theo phần a)
\(\Rightarrow a1=a2\ge1;a3\ge2;a4\ge3;...;a100\ge99\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\le\frac{2}{a1}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}=\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}\)
Mặt khác, ta có :\(\frac{2}{1}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{99}< 2+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}=\frac{5}{2}+\frac{97}{3}=\frac{209}{6}\)
( \(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{99}< \frac{1}{3}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{3}\)có 97 phân số 1/3 )
\(\Rightarrow\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}< \frac{209}{6}< \frac{303}{6}=\frac{101}{2}\)trái với đề bài
Tương tự giả sử lấy bất kỳ 2 số bằng nhau khác tổng \(\frac{1}{a1}+\frac{1}{a2}+\frac{1}{a3}+...+\frac{1}{a100}\)vẫn nhỏ hơn 101/2
Vậy tồn tại trong 100 số đã cho có ít nhất 3 số bằng nhau ( điều phải chứng minh).
cho các số nguyên dương a,b,c,d thỏa mãn 1/a2+1/b2+1/c2+1/d2=1.chứng minh rằng trong 4 số đã cho luôn tồn tại ít nhất hai số bằng nhau
1) Cho 3 số a,b,c khác 0 thỏa mãn điều kiện: \(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
Tính giá trị của biểu thức P = \(\frac{a+b}{c}+\frac{b+c}{a}+\frac{c+a}{b}\)
2) Cho biết (x-1).f(x) = (x+4).f(x+8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm.
3) Tìm các cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn: \(x-3y+2xy=4\)
4) Chứng minh rằng không tồn tại số tự nhiên n để n2 + 2018 là số chính phương.
5) Cho 2016 số nguyên dương a1, a2, a3, ............., a2016 thỏa mãn:
\(\frac{1}{^a1}+\frac{1}{^a2}+\frac{1}{^a3}+...+\frac{1}{^a2016}=300\)
Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau.
Áp dụng ta đc:
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}=\frac{5a+5b+5c}{a+b+c}=5\left(\text{vì: a,b,c khác 0}\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}b+c=2a\\c+a=2b\\a+b=2c\end{cases}}\Rightarrow a=b=c\)
\(\Rightarrow P=6\)
\(\frac{3a+b+c}{a}=\frac{a+3b+c}{b}=\frac{a+b+3c}{c}\)
\(\Rightarrow\frac{3a+b+c}{a}-2=\frac{a+3b+c}{b}-2=\frac{a+b+3c}{c}-2\)
\(\Rightarrow\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b}=\frac{a+b+c}{c}\)
Xét \(a+b+c\ne0\)
\(\Rightarrow a=b=c\)
Thay vào P ta được P=6
Xét \(a+b+c=0\)
\(\Rightarrow a+b=-c;b+c=-a;a+c=-b\)
Thay vào P ta được P= -3
Vậy P có 2 gtri là ...........
Với x=4
\(\Rightarrow-5.f\left(-4\right)=0.f\left(4\right)\)
\(\Rightarrow f\left(-4\right)=0\)
Vậy x=4 là nghiệm của đt
Với x=1
\(\Rightarrow0.f\left(0\right)=4.f\left(9\right)\)
\(f\left(9\right)=0\)
Vậy x=9 là nghiệm của đt
Mình nghĩ m chỉ tìm được 2 nghiệm thôi bạn :V
cho 2000 số nguyên dương :
a1 ; a2 ; ... ; a2000
thỏa mãn : \(_{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2000}}=12}\)
chứng minh trong 2000 số đã cho có ít nhất 2 số bằng nhau
Câu 1:
cho 100 số nguyên dương a1, a2,... a100 thỏa mãn:
\(\frac{1}{a1^2}+\frac{1}{a2^2}+...+\frac{1}{a100^2}=\frac{199}{100}\)
chứng minh: trong 100 số a1, a2,... a100 đã cho tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau.
Giả sử trong 100 số nguyên dương đã cho không tồn tại 2 số nào bằng nhau
Không mất tính tổng quát, giả sử \(a_1< a_2< a_3< ...< a_{100}\)
\(\Rightarrow a_1\ge1;a_2\ge2;a_3\ge3;....;a_{100}\ge100\Rightarrow\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a_2^2}+\frac{1}{a^2_3}...+\frac{1}{a^2_{100}}\le\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}\left(1\right)\)
Lại có: \(\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+...+\frac{1}{100^2}< 1+\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+...+\frac{1}{99.100}=1+1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+...+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}=\frac{199}{100}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => \(\frac{1}{a_1^2}+\frac{1}{a^2_2}+...+\frac{1}{a^2_{100}}< \frac{199}{100}\) trái với giả thiết
Vậy tồn tại ít nhất 2 số bằng nhau trong 100 số a1,a2,...,a100
Cho 2013 số dương a1; a2; .....;a2013 thỏa mãn:
\(\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_{2013}}=1007\)
chứng minh: có ít nhất 2 trong 2013 số dương đã cho bằng nhau